Параболи-один з найпоширеніших типів кривих у математиці. Вони зустрічаються в різних галузях знань, наприклад, у фізиці при вивченні траєкторій кидання предметів або в економіці при аналізі витрат і доходів.
Але іноді виникає необхідність визначити точки параболи за її графіком. На перший погляд це може здатися складним завданням, але насправді існують прості методи вирішення цього завдання. У даній статті ми розглянемо один з таких методів і надамо кілька прикладів його застосування.
Метод полягає в тому, щоб знайти координати вершини параболи і її осей симетрії. Знаючи ці значення, можна легко знайти точки перетину параболи з віссю абсцис і віссю ординат, а також дізнатися, в який бік спрямована гілка параболи.
Як знайти точки параболи за графіком: простий метод і приклади
Існує кілька способів знайти точки параболи за графіком, включаючи аналітичні методи та методи графічного наближення. У цій статті розглянемо простий метод знаходження точок параболи за графіком.
Крок 1: Визначте вісь симетрії
Першим кроком є визначення осі симетрії параболи. Вісь симетрії є вертикальною лінією, яка ділить параболу на дві симетричні половини. Знайдіть точку, де графік параболи досягає свого вершини. Ця точка буде лежати на осі симетрії.
Крок 2: Знайдіть координати вершини параболи
Для знаходження координат вершини параболи скористайтеся знайденої віссю симетрії. Знайдіть значення x на осі симетрії і підставте його в рівняння параболи для знаходження відповідного значення y. Таким чином, ви знайдете координати вершини параболи (x,y).
Крок 3: Знайдіть інші точки параболи
Після знаходження координат вершини параболи, можна знайти інші точки на графіку. Відобразіть вершину параболи відносно осі симетрії та знайдіть відповідні значення y для знайдених значень x. Таким чином ви отримаєте інші точки параболи.
Розглянемо параболу y = x^2 - 4x + 3 та її графік:
Вставити графік параболи
Крок 1: Визначення осі симетрії
Знайдемо вершину параболи, яка буде лежати на осі симетрії. Формула для знаходження координат вершини параболи виду y = ax^2 + bx + c має вигляд x = - b / (2a). У нашому випадку a = 1, b = -4, тому:
x = -(-4) / (2*1) = 4 / 2 = 2
Таким чином, вісь симетрії параболи проходить через точку (2,0).
Крок 2: Пошук координат вершини параболи
Підставимо значення x = 2 в рівняння параболи, щоб знайти відповідне значення y:
y = (2)^2 - 4*(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Таким чином,координати вершини параболи рівні (2, -1).
Крок 3: Знаходження інших точок параболи
Для знаходження інших точок параболи відобразимо вершину параболи щодо осі симетрії. Таким чином, отримаємо точку (0,3). Підставимо значення x = 0 і x = 4 в рівняння параболи:
При x = 0: y = (0)^2 - 4*(0) + 3 = 3
При x = 4: y = (4)^2 - 4*(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3
Таким чином, отримані точки параболи дорівнюють (0,3) і (4,3).
Отже, за графіком параболи ми знайшли точки параболи:
Початок шляху в аналітичній геометрії
Однією з основних тим аналітичної геометрії є вивчення параболи. Парабола-це геометричне місце точок, що знаходяться на однаковій відстані від фокуса і прямої, званої директрисою. Для вивчення параболи та пошуку її точок можна використовувати графік, який допомагає візуалізувати геометричні властивості параболи.
Простий метод знаходження точок параболи за її графіком полягає в тому, щоб вибрати кілька точок на графіку і визначити їх координати. Потім можна використовувати ці координати для побудови рівняння параболи або виконання інших математичних операцій.
Наприклад, уявімо, що у нас є графік параболи, на якому нам відомі координати трьох точок: (-2, 4), (0, 0) і (2, 4). Ми можемо використовувати ці точки, щоб знайти рівняння параболи та додаткові точки, що знаходяться на ній.
Використовуючи метод знаходження точок параболи за графіком, починається шлях в аналітичній геометрії. Подальше вивчення цієї дисципліни дозволяє нам більш глибоко зрозуміти Геометричні об'єкти, аналізувати їх властивості і застосовувати отримані знання на практиці.
Таким чином, знання аналітичної геометрії та методів пошуку точок параболи за графіком є важливою складовою математичної підготовки і може бути корисним у вирішенні різних проблем.
Парабола: визначення та властивості
У параболи є кілька важливих властивостей:
- Фокус і директриса лежать на одній осі симетрії параболи.
- Фокус і вершина параболи лежать на одній прямій, званої вісь симетрії.
- Відстань від фокуса до будь-якої точки параболи дорівнює відстані від цієї точки до директриси.
- Форма параболи визначається коефіцієнтом в рівнянні функції, який називається параметр.
Парабола може бути орієнтована вниз або вгору в залежності від знака параметра. Якщо параметр позитивний, парабола відкривається вгору. Якщо параметр негативний, парабола відкривається вниз.
На графіку парабола представляється як крива, симетрична щодо осі симетрії і утворена з ряду точок, що мають однакову відстань до фокуса і директриси.
Метод знаходження координат точок параболи
Для знаходження координат точок параболи за її графіком Існує простий метод, заснований на властивостях параболічної функції.
Нехай у нас є графік параболи і ми хочемо знайти координати конкретної точки на цій параболі. Для цього необхідно знати формулу параболи, заданої рівнянням y = ax^2 + bx + c, де a, b і c - коефіцієнти параболи.
Виходячи з графіка параболи, ми можемо побачити, що точка вершини параболи має найменше (або найбільше) значення координати y. Тому для пошуку вершини параболи можна взяти похідну від рівняння параболи і вирішити рівняння y' = 0 для координати x. Отримана координата x буде x координатою точки вершини параболи.
Знаючи координату x вершина, ми можемо підставити її в рівняння параболи і знайти відповідну координату y. Таким чином, ми отримуємо координати точки вершини параболи.
Для визначення інших точок параболи необхідно вибрати значення координати x і підставити їх в рівняння параболи, щоб знайти відповідні значення координати y. Таким чином, ми можемо отримати координати інших точок параболи.
Застосування даного методу дозволяє знаходити координати точок параболи за її графіком без необхідності вирішення систем рівнянь або графічного побудови.
Приклади вирішення завдань: знаходження точок параболи
Для знаходження точок параболи за її графіком необхідно використовувати метод виключення або підстановки в рівняння параболи отриманих значень координат точки.
Розглянемо приклад для параболи з рівнянням y = x^2 + 2. Припустимо, що ми вже маємо графік цієї параболи.
| Координата x | Координата y |
|---|---|
| -3 | 11 |
| -2 | 6 |
| -1 | 3 |
| 0 | 2 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 11 |
Використовуючи рівняння y = x^2 + 2, підставимо значення координат x замість x в рівняння і обчислимо відповідні значення координат y.
Для x = -3: y = (-3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11.
Для x = -2: y = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6.
Для x = -1: y = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3.
Для x = 0: y = (0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2.
Для x = 1: y = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3.
Для x = 2: y = (2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6.
Для x = 3: y = (3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11.
Таким чином, точки параболи за даним графіком мають наступні координати:
| Координата x | Координата y |
|---|---|
| -3 | 11 |
| -2 | 6 |
| -1 | 3 |
| 0 | 2 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 11 |
Закріплення теорії на практиці
Детальне вивчення теорії допомагає краще зрозуміти параболи та їх особливості. Щоб закріпити отримані знання на практиці, розглянемо кілька прикладів розрахунку точок параболи за її графіком.
Припустимо, у нас є графік параболи з вершиною в точці (-2, 4). Наше завдання-знайти координати п'яти точок на графіку.
- Координати вершини параболи вже відомі і рівні (-2, 4).
- Щоб знайти точку на параболі, що лежить на осі симетрії, потрібно знати значення координати x точки на одному з кінців графіка. Припустимо, що x дорівнює -4. Підставимо це значення в рівняння параболи і знайдемо відповідне значення y: y = a (x - h)^2 + k y = a(-4 - (-2))^2 + 4 y = a (-4 + 2)^2 + 4 y = a (-2)^2 + 4 y = 4A + 4 a = (y-4) / 4
- Підставимо знайдене значення A в рівняння параболи і знайдемо y для інших значень x: x = -4, y = 4a + 4 = 4((4 - 4)/4) + 4 = 4 x = -3, y = 4a + 4 = 4((3 - 4)/4) + 4 = 3.75 x = -2, y = 4a + 4 = 4((2 - 4)/4) + 4 = 4 x = -1, y = 4a + 4 = 4((1 - 4)/4) + 4 = 4 x = 0, y = 4a + 4 = 4((0 - 4)/4) + 4 = 4
Таким чином, точки на графіку параболи будуть наступними:
- (-4, 4)
- (-3, 3.75)
- (-2, 4)
- (-1, 4)
- (0, 4)
Тепер розглянемо графік параболи з вершиною в точці (0, 6). Знайдемо координати трьох точок на графіку.
- Координати вершини параболи вже відомі і рівні (0, 6).
- Щоб знайти точку на параболі, що лежить на осі симетрії, потрібно знати значення координати x точки на одному з кінців графіка. Припустимо, що x дорівнює -2. Підставимо це значення в рівняння параболи і знайдемо відповідне значення y: y = a(x - h)^2 + k y = a(-2 - 0)^2 + 6 y = a(-2)^2 + 6 y = 4a + 6 a = (y - 6)/4
- Підставимо знайдене значення A в рівняння параболи і знайдемо y для інших значень x: x = -2, y = 4a + 6 = 4((6 - 6)/4) + 6 = 6 x = -1, y = 4a + 6 = 4((1 - 6)/4) + 6 = 5 x = 0, y = 4a + 6 = 4((0 - 6)/4) + 6 = 6
Отримуємо наступні точки на графіку параболи: