Прямокутні трикутники з кутом в 45 градусів мають свою особливість: всі три сторони однакові по довжині. Це означає, що якщо ми знаємо довжину одного боку, то з легкістю можемо знайти довжини інших двох. Це дуже корисне знання, особливо при вирішенні геометричних задач. Наприклад, якщо відома довжина гіпотенузи (сторони, протилежної прямому куту), то довжина катетів може бути знайдена за допомогою простої формули.
Формула для знаходження довжини катетів прямокутного трикутника з кутом 45 градусів наступна:
сторона = довжина гіпотенузи / √2
Приклад: Скажімо, у нас є прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза дорівнює 10. Ми можемо легко знайти довжини катетів:
сторона = 10 / √2 ≈ 7.07
Таким чином, довжина кожного катета буде близько 7.07 одиниці довжини.
Формула для знаходження сторін трикутника
Для знаходження сторін прямокутного трикутника з кутом 45 градусів існує спеціальна формула, заснована на теоремі Піфагора:
1. Якщо одна зі сторін трикутника відома, то другу сторону можна знайти за допомогою формули:
- Сторона a: a = c / sqrt(2), де c - відома сторона трикутника.
- Сторона b: b = C / sqrt(2), де c - відома сторона трикутника.
2. Якщо гіпотенуза трикутника відома, то інші сторони можна знайти за допомогою формули:
- Катет a: a = c * sqrt(2), де c - відома гіпотенуза трикутника.
- Катет b: b = c * sqrt(2), де c - відома гіпотенуза трикутника.
Таким чином, знаючи одну зі сторін трикутника або його гіпотенузу, можна легко знайти всі інші сторони.
Приклади знаходження сторін трикутника з наступними умовами:
Приклад 1:
Дан прямокутний трикутник з кутом 45 градусів:
Кут a = 45 градусів
Знайти сторони трикутника:
Рішення:
Кут a = 45 градусів, а прямокутний трикутник має два рівних кута. Значить, кут B = 45 градусів.
Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам, тому кут C = 180 - 45 - 45 = 90 градусів.
Таким чином, трикутник ABC є прямокутним з кутами 45 градусів, 45 градусів і 90 градусів.
За визначенням прямокутного трикутника, сторони, що утворюють прямий кут, називаються гіпотенузою і катетами.
В даному випадку, сторона AB є гіпотенузою, а сторони AC і BC є катетами.
Щоб знайти значення сторін AB і AC, можна використовувати теорему Піфагора:
Так як кут C дорівнює 90 градусам, то сторона BC буде дорівнює значенню одного з катетів. Нехай BC = a.
Тоді AB^2 = AC^2 + a^2.
Якщо ми знаємо значення однієї зі сторін, то можемо знайти значення іншої сторони за допомогою цього рівняння.
Приклад 2:
Дан прямокутний трикутник з кутом 45 градусів:
Кут a = 45 градусів
Відомо, що сторона AC = 10 см.
Знайти сторони трикутника:
Рішення:
Кут a = 45 градусів, а прямокутний трикутник має два рівних кута. Значить, кут B = 45 градусів.
Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам, тому кут C = 180 - 45 - 45 = 90 градусів.
Таким чином, трикутник ABC є прямокутним з кутами 45 градусів, 45 градусів і 90 градусів.
Відомо, що сторона AC = 10 см.за визначенням прямокутного трикутника, сторона AC є катетом.
Щоб знайти значення сторони AB, можна використовувати теорему Піфагора:
Так як кут C дорівнює 90 градусам, то сторона BC буде дорівнює значенню іншого катета. Нехай BC = b.
Тоді AB^2 = 10^2 + b^2.
Якщо ми знаємо значення однієї зі сторін, то можемо знайти значення іншої сторони за допомогою цього рівняння.
Приклад 1: Знайдіть сторони трикутника, якщо відома гіпотенуза та один катет
Використовуючи теорему Піфагора, ми можемо знайти довжину другого катета:
AC 2 = AB 2 - BC 2
AC 2 = 10 2 - 6 2
AC 2 = 100 - 36
AC 2 = 64
AC = √64 = 8
Таким чином, довжина другого катета AC дорівнює 8 см.
Щоб знайти периметр трикутника ABC, ми повинні скласти довжини всіх його сторін:
Периметр = AB + BC + AC
Периметр = 10 + 6 + 8
Периметр = 24 см
Таким чином, в даному прикладі довжина другого катета AC дорівнює 8 см, а периметр трикутника ABC дорівнює 24 см.
Приклад 2: Знайдіть сторони трикутника, якщо відомі два катети
У цьому прикладі ми розглянемо випадок, коли відомі значення двох катетів прямокутного трикутника. Для знаходження довжини гіпотенузи та інших сторін ми будемо використовувати теорему Піфагора.
- Довжина першого катета (a) = 5
- Довжина другого катета (b) = 7
Використовуючи формулу теореми Піфагора (a^2 + b^2 = c^2), де c - довжина гіпотенузи, ми можемо розрахувати:
Далі, щоб знайти довжину гіпотенузи (c), ми повинні взяти квадратний корінь із Значення c^2:
Таким чином, у прикладі 2, довжина гіпотенузи (c) прямокутного трикутника дорівнює приблизно 8.602.