Пошук похідної функції є однією з основних задач математичного аналізу. У цій статті ми розглянемо докладне пояснення процесу знаходження похідної натурального логарифма в квадраті. Натуральний логарифм-це важлива функція в математиці, а його похідна має свої особливості.
Для початку згадаємо, що натуральний логарифм позначається як ln (x) або loge(x), де e – підстава натурального логарифма і наближено дорівнює 2.71828. Функція ln (x) є зворотною до експоненціальної функції, тобто вона знаходить число, що зводиться в експоненту, при відомому підставі.
Для того , щоб знайти похідну функції ln(x) 2, ми повинні застосувати правило диференціації для композиції функцій, відоме як "ланцюгове правило". В даному випадку ми маємо композицію функцій: спочатку зводимо натуральний логарифм в квадрат, а потім знаходимо його похідну.
Застосовуючи ланцюгове правило, ми множимо похідну зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції. В даному випадку похідна зовнішньої функції дорівнює 2LN(x), а похідна внутрішньої функції дорівнює 1/x. тому похідна функції ln(x) 2 буде дорівнює (2LN(x))(1/x).
Що таке похідна натурального логарифму в квадраті
Для знаходження похідної натурального логарифма в квадраті можна скористатися правилами диференціювання. В даному випадку, застосовується правило диференціювання складної функції, так як функція ln(x)^2 є композицією натурального логарифму і зведення в квадрат.
Правило диференціювання складної функції говорить, що похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції.
Таким чином, щоб знайти похідну натурального логарифма в квадраті, необхідно помножити похідну натурального логарифма на 2.
Математично це можна записати наступним чином:
d/dx (ln(x)^2) = 2 * d/dx (ln(x))
де d / DX-позначення похідної за змінною x.
Таким чином, похідна натурального логарифма в квадраті дорівнює дворазовій похідній натурального логарифма.
Похідна натурального логарифма в квадраті може бути корисна при вирішенні задач в різних областях, таких як математика, фізика, економіка і т.д., де функції з натуральним логарифмом зустрічаються досить часто.
Як знайти похідну натурального логарифму в квадраті
Щоб знайти похідну натурального логарифма в квадраті, необхідно використовувати правило диференціювання складної функції.
Формула для знаходження похідної логарифму функції f (x) виглядає наступним чином:
Для знаходження похідної натурального логарифма в квадраті потрібно застосувати це правило двічі.
- Знайдіть похідну функції f (x), яка знаходиться під логарифмом.
Наприклад, якщо у вас є функція f(x) = x^2, то F'(x) = 2x. - Підставте похідну F'(x) і саму функцію f (x) у формулу:
d(ln(f(x)))/dx = f′(x)/f(x)
У нашому прикладі це буде виглядати так:
d(ln(x^2))/dx = 2x/(x^2) - Спростіть отриманий вираз і приведіть його до загального вигляду.
У нашому прикладі отримуємо:
d(ln(x^2))/dx = 2/x
Таким чином, похідна натурального логарифма в квадраті дорівнює 2/x.
Це правило можна застосувати для знаходження похідної будь-якого логарифма, не тільки натурального.
Сподіваємося, що дане пояснення допомогло вам розібратися в процесі знаходження похідної натурального логарифма в квадраті.
Приклади обчислення похідної натурального логарифма в квадраті
Розглянемо кілька прикладів обчислення похідної натурального логарифма в квадраті для різних функцій.
- Приклад 1:
Нехай дана функція f(x) = ln(x^2). Щоб знайти похідну цієї функції, ми можемо використовувати правило диференціації складної функції.
Спочатку візьмемо похідну внутрішньої функції: g(x) = x^2. Її похідна дорівнює g'(x) = 2x.
Тепер знайдемо похідну зовнішньої функції, підставивши похідну внутрішньої функції: f'(x) = g'(x) / g(x) = 2x / x^2 = 2/x. - Приклад 2:
Розглянемо функцію f(x) = ln((2x + 1)^2). Для знаходження похідної застосуємо правило диференціювання складної функції.
Нехай g(x) = (2x + 1)^2. Знайдемо похідну внутрішньої функції: g'(x) = 2(2x + 1).
Похідна зовнішньої функції: f'(x) = g'(x) / g(x) = 2(2x + 1) / (2x + 1)^2. - Приклад 3:
Нехай дана функція f(x) = ln(sin^2(x)). Для знаходження похідної застосуємо правило диференціювання складної функції.
Нехай g(x) = sin^2(x). Її похідна дорівнює g'(x) = 2sin(x)cos(x) = sin(2x).
Похідна зовнішньої функції: f'(x) = g'(x) / g(x) = sin(2x) / sin^2(x).
Такі приклади обчислення похідної натурального логарифма в квадраті допомагають побачити застосування правил диференціювання і поліпшити навички вирішення подібних завдань.