Похідна-це одне з найважливіших понять в математиці. Її розуміння і вміння знаходити похідні функцій є основою для вирішення безлічі завдань як у фізиці, так і в економіці, інженерії та інших областях науки і техніки. Однак знайти похідну дробових функцій може викликати утруднення у багатьох студентів.
У цьому посібнику ми покажемо, як знайти похідну дробової функції з Іксом в кубі покроково. Ми розглянемо всі необхідні кроки і надамо докладні пояснення і приклади, які допоможуть вам правильно і успішно вирішити таку задачу.
Основне поняття
Якщо функція представлена у вигляді дробу, то для знаходження її похідної необхідно використовувати правила диференціювання. Для дробу з Іксом в Кубі можна скористатися правилом диференціювання складної функції.
Згідно з цим правилом, похідна дробу f(g (x)) дорівнює добутку похідної функції f і похідної функції g.
Для знаходження похідного дробу з Іксом в Кубі можна використовувати наступний алгоритм:
- Знайдіть похідну чисельника дробу, застосовуючи правила диференціювання;
- Знайдіть похідну знаменника дробу, застосовуючи правила диференціації;
- За допомогою правила диференціювання складної функції знайдіть похідну функції в знаменнику дробу;
- Висловіть шукану похідну, підставивши знайдені похідні в формулу для похідного дробу.
Отже, знання основних понять диференціації та правил диференціації допоможе вам правильно знайти похідну дробу з Х в кубі.
Опис похідної
Якщо у функції є дріб з Іксом в кубі, то для знаходження її похідної необхідно використовувати правило диференціювання статечної функції виду F(x) = x^n. Згідно з цим правилом похідна функції f (x) = x^n дорівнює добутку показника ступеня на коефіцієнт перед x, помножене на x, зведене в ступінь, на 1 меншу, ніж вихідний показник ступеня, тобто:
f'(x) = n * a * x^(n-1)
де f'(x) - похідна функції f (x), n - ступінь функції, a - коефіцієнт перед x.
Таким чином, для знаходження похідного дробу з Іксом в кубі, необхідно винести x в Кубі за дужки і застосувати правило диференціювання статечної функції.
Крок 1: Розкладання
Похідну дробу з Х в Кубі можна обчислити за допомогою правила диференціації для функції потужності. Щоб почати процес диференціювання, необхідно спочатку розкласти вираз на прості частини.
Для обчислення похідного дробу з Х в Кубі, можна використовувати формулу (a^3) ' = 3a^2, де a - змінна або функція, що містить х.
Давайте розкладемо вираз:
- Зводимо Ікс в кубі: x^3
- Застосовуємо правило диференціювання для статечної функції, отримуємо 3x^2
Тепер ми готові перейти до наступного кроку - обчислення похідної.
Розкладання дійсного числа
Наприклад, для числа 3.14 його ціла частина дорівнює 3, а дробова - 0.14. Також можна записати розкладання числа у вигляді:
Розкладання дійсного числа може бути корисно при проведенні математичних операцій, а також при округленні чисел, знаходженні ступеня числа і проведенні інших математичних обчислень.
Крок 2: диференціація чисельника
Для диференціювання чисельника дробу з Х в кубі, ми будемо використовувати правило диференціювання статечної функції.
- Знайдіть похідну функції в чисельнику за правилом диференціювання статечної функції. Для функції, в якій х зводиться до Куба, похідна буде дорівнює трьом х у квадраті.
- Запишіть отримане значення похідної в чисельнику.
- Продовжуйте диференціювати решту членів дробу, якщо вони мають змінні.
Застосування правила похідної для дробів
При знаходженні похідного дробу з Іксом в кубі використовується правило диференціювання для функцій, складених з простих функцій і алгебраїчних операцій. Для цього застосовується правило Лейбніца.
Правило Лейбніца полягає у множенні першої функції (чисельник) на похідну другої функції (знаменник), а потім відніманні добутку другої функції на похідну першої функції, все поділене на квадрат знаменника.
Отже, якщо маємо дріб f (x) = \ \ frac = \ \ frac, то для знаходження похідної слід виконати наступні кроки:
- Розкриваємо чисельник і знаменник дробу: f'(x) = \ \ frac= \ \ frac
- Скорочуємо загальні множники: f'(x) = \ \ frac
Таким чином, ми отримуємо похідну дробу з Х в кубі, яка дорівнює f'(x) = \frac .
Крок 3: Диференціювання знаменника
Для похідного дробу з Іксом в кубі необхідно диференціювати і чисельник, і знаменник. Після знаходження похідної чисельника на попередньому кроці, переходимо до диференціювання знаменника.
Уявімо знаменник у вигляді ступеня Ікса:
Знаменник: x^3
Для диференціювання цього ступеня, застосуємо правило диференціювання статечної функції. Для ступеня з показником n, похідна дорівнює добутку показника ступеня на вихідну ступінь, помножену на Х в степені n-1:
Похідна знаменника: 3x^2
Тепер у нас є похідна чисельника та знаменника, які ми можемо використовувати для обчислення похідної всього дробу. Переходимо до наступного кроку - обчислення похідної в цілому.
Застосування правила похідної для дробів
Для застосування цього правила необхідно слідувати певній послідовності кроків:
| Крок | Опис | Приклад |
|---|---|---|
| 1 | Знайдіть спільний знаменник дробу | Для дробу a /b і c /d, спільний знаменник буде дорівнює b * d |
| 2 | Розкладіть дріб на дві окремі дроби | Для дробу a /b + c /d, розкладіть на a * d /b * d - c * b /b * d |
| 3 | Знайдіть похідну для кожного окремого дробу | Для a * d /b * d і c * b /b * d, знайдіть похідні окремо |
| 4 | Об'єднайте похідні, враховуючи знаки | Додайте або відніміть похідні залежно від знаків |
| 5 | Спростіть отриманий вираз | Скоротіть загальні множники, спростіть чисельник і знаменник |
Застосування правила похідної для дробів дозволяє спростити процес знаходження похідних складних функцій, що містять дроби зі змінними.
Крок 4: Спрощення
Після знаходження похідної дробу з Іксом в кубі, необхідно спростити результат. Для цього можна застосувати кілька алгебраїчних перетворень.
Першим кроком можна винести загальний множник в чисельнику і знаменнику, якщо такий є.
Потім слід скоротити загальні множники в чисельнику і знаменнику, якщо вони є.
Далі можна привести дріб до спільного знаменника, якщо це можливо.
Після цього можна скласти або віднімати чисельники.
І, нарешті, можна привести отриману дріб до більш простій формі, якщо це можливо.
| Задана функція | Результат похідної | Спрощений результат |
|---|---|---|
| (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) / (5x^2 + 6x + 7) | (3x^2 + 4x + 3) / (5x^2 + 6x + 7) | (3x^2 + 4x + 3) / (5x^2 + 6x + 7) |
Пам'ятайте, що спрощення похідного дробу з Х в кубі може бути не завжди можливим в рамках елементарних алгебраїчних перетворень. У таких випадках результат залишається у вихідній формі.