Алгебра є однією з основних математичних дисциплін, що вивчаються в школі. В рамках програми з алгебри в 11 класі, однією з ключових тим є похідна функції. Похідна-це поняття, що дозволяє описувати швидкість зміни функції в кожній її точці. При вивченні похідних в алгебрі, її застосування широко поширене в різних областях науки і дозволяє вирішувати завдання пов'язані з визначенням екстремумів, знаходженням точок перегину і т. д.
Для знаходження похідної функції необхідно знати основні правила диференціювання і вміти застосовувати їх на практиці. В алгебрі 11 класу, вам будуть вивчені наступні правила диференціювання:
- Правило статечної функції: якщо функція має вигляд y = x^n, то її похідна дорівнює y' = n * x^(n-1).
- Правило добутку: якщо функція представлена у вигляді y = u * v, то її похідна дорівнює y' = u' * v + u * v'.
- Правило суми: якщо функція представлена у вигляді y = u + v, то її похідна дорівнює y' = u' + v'.
- Правило поділу: якщо функція представлена у вигляді y = u / v, то її похідна дорівнює y' = (u' * v - u * v') / v^2.
Для застосування цих правил важливо добре знати основні властивості функцій і їх похідних. Практика і рішення численних завдань допоможуть вам освоїти дану тему і стати неперевершеним в знаходженні похідних функцій. Уважне виконання завдань, а також використання отриманих знань в реальних ситуаціях дозволять вам оволодіти цими навичками на досить високому рівні.
Вивчення похідної
Для знаходження похідної функції в алгебрі 11 клас необхідно використовувати правила диференціювання, які дозволяють полегшити процес обчислення. Деякі основні правила:
- Правило суми: якщо F(x) і g (x) диференційовані, то(F+g)'(x) = F'(x) + g'(x).
- Правило добутку: якщо F(x) і g (x) диференційовані, то(f*g)'(x) = F'(x)*g(x) + f(x)*g'(x).
- Правило поділу: якщо F(x) і g (x) диференційовані, то(F/g)'(x) = (f'(x)*g(x) - F(x)*g'(x))/(g (x))^2.
- Правило ланцюжка: якщо функції F(x) і g (x) диференційовані, то(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).
Для знаходження похідної складної функції використовується правило ланцюжка, яке дозволяє обчислити похідну композиції функцій.
При вивченні похідної також необхідно враховувати поняття межі і його зв'язок з похідною. Дійсно, похідна функції f (x) в точці a збігається з межею відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні приросту аргументу до нуля.
Вивчення похідної дозволяє також зрозуміти властивості функцій і аналізувати їх поведінку. Наприклад, знаючи похідну функції, можна визначити, коли функція зростає або убуває, знайти точки екстремуму або точки перегину графіка функції.
Вивчення похідних та правил диференціації є важливим елементом алгебри в 11 класі. Воно допомагає розвинути навички математичного аналізу, логічного мислення і застосування алгоритмічних прийомів для вирішення завдань.
Основні поняття та визначення
Межа функції-число, до якого прагнуть значення функції, коли аргумент прагне до певної точки. Окремий випадок-межа функції в нескінченності, коли аргумент прагне до нескінченності.
Функція - відображення, яке кожному елементу однієї множини ставить у відповідність елемент іншої множини. Функція може бути задана аналітично (формулою) або графічно (графіком).
Похідна функції дозволяє визначити її поведінку в кожній точці області визначення. Іншими словами, похідна функції показує її швидкість зростання або зменшення залежно від зміни аргументу.
Тангенс кута нахилу дотичної (або просто тангенс кута нахилу) - відношення протилежного катета до прилеглого для прямокутного трикутника, утвореного прямою і віссю ординат.
Дотична до графіка функції - пряма лінія, дотична до графіка функції в певній точці. Вона має одну спільну точку з графіком функції і має ту ж саму похідну, що і сама функція в заданій точці.
Правила диференціювання
Основні правила диференціювання, якими необхідно оволодіти, включають:
- Правило константи: Якщо функція f(x) = C, де C - константа, то її похідна буде дорівнює нулю: F'(x) = 0.
- Правило ступеня: Якщо функція f(x) = x^n, де n - натуральне число, то її похідна буде дорівнює добутку ступеня на коефіцієнт: F'(x) = n * x^(n-1).
- Правило Суми та різниці: Якщо функції f(x) і g(x) мають похідні F'(x) і g'(x) відповідно, то похідні їх суми і різниці будуть рівні: (F + g)'(x) = F'(x) + g'(x) і(f - g)'(x) = F'(x) - g'(x).
- Правило добутку: Якщо функції f(x) і g(x) мають похідні F'(x) і g'(x) відповідно, то похідна їх добутку буде дорівнює: (F * g)'(x) = F'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).
- Правило приватного: Якщо функції f(x) і g(x) мають похідні F'(x) і g'(x) відповідно, то похідна їх частки буде: (f / g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g (x))^2.
Використання даних правил дозволяє знаходити похідні функцій і вирішувати завдання на знаходження екстремумів, похилих асимптот та інших важливих характеристик функцій. Відмінне розуміння правил диференціювання є важливим навиком для успішної підготовки до ЄДІ з алгебри і для подальшого вивчення математики.
Приклади вирішення завдань
Приклад 1:
Дано вираз f (x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7. Знайдіть похідну цієї функції.
Для знаходження похідної функції f (x), потрібно застосувати правила диференціювання до кожного доданку окремо.
Похідна доданка 2x^3 дорівнює 6x^2. Похідна доданка-5x^2 дорівнює-10x. Похідна доданка 3x дорівнює 3. Похідна доданка -7 дорівнює 0 (так як константа).
Таким чином, похідна функції f(x) дорівнює f'(x) = 6x^2 - 10x + 3.
Приклад 2:
Знайдіть похідну функції f(x) = sin (x).
Похідна функції sin(x) дорівнює cos (x). Таким чином, похідна функції f(x) дорівнює f'(x) = cos(x).
Приклад 3:
Знайдіть похідну функції f(x) = ln (x).
Похідна функції ln(x) дорівнює 1/x. таким чином, похідна функції f(x) дорівнює f'(x) = 1/x.
Геометрична інтерпретація
Похідна функції в алгебрі 11 клас можна інтерпретувати і геометрично. Геометрична інтерпретація похідної дозволяє краще зрозуміти зміну та нахил функції в кожній точці графіка.
Розглянемо функцію f(x) = x^2, яка є параболою. Якщо взяти дві точки на графіку цієї функції, наприклад, A(1, 1) і B(2, 4), то ми можемо порахувати різницю їх y-координат і різницю їх x-координат: Δy = 4 - 1 = 3 і Δx = 2 - 1 = 1.
Тепер ми можемо обчислити кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки A і B: tg α = Δy / Δx = 3 / 1 = 3. Це і є значення похідної функції в точці x = 1.
Таким чином, геометрична інтерпретація похідної дозволяє визначити нахил дотичної до графіка функції в кожній точці. Якщо значення похідної позитивно, то функція зростає в цій точці, якщо значення похідної негативно, то функція убуває.
Геометрична інтерпретація похідної корисна для візуалізації та розуміння графіків функцій та їх поведінки. Це допомагає у вирішенні завдань, пов'язаних з визначенням екстремумів функцій, знаходженням точок перегину і т. д.
Застосування похідної в реальному житті
1. Фізика
Похідна знаходить широке застосування у фізиці, особливо при вирішенні задач динаміки і кінематики. Наприклад, похідна дозволяє знайти швидкість і прискорення руху тіла, а також визначити моменти часу, коли ці величини досягають максимальних і мінімальних значень.
2. Економіка
В економіці похідна використовується для аналізу та оптимізації виробничих та фінансових процесів. Наприклад, за допомогою похідної можна знайти маржинальні витрати і доходи, визначити точку максимального прибутку або мінімальних витрат.
3. Інженерія
В інженерії похідна застосовується для моделювання та оптимізації різних систем. Наприклад, похідна дозволяє визначити точку екстремуму функції, що допомагає інженерам розробляти ефективні системи управління або покращувати вже існуючі.
4. Медицина
Похідна також знаходить застосування в медицині. Наприклад, вона допомагає аналізувати та інтерпретувати результати медичних тестів, визначати швидкість зміни показників здоров'я пацієнта, а також проводити моделювання та прогнозування розвитку хвороб.
5. Інформаційні технології
Похідна використовується в інформаційних технологіях при розробці алгоритмів і програмного забезпечення. Наприклад, вона дозволяє оптимізувати продуктивність програм і прискорювати виконання складних обчислень.
| Галузь застосування | Приклад |
|---|---|
| Фізика | знаходження швидкості руху тіла |
| Економіка | визначення точки максимального прибутку |
| Інженерія | моделювання системи управління |
| Медицина | аналіз результатів медичних тестів |
| ІТ | оптимізація продуктивності програм |