Матриця-це таблиця, що складається з чисел, розділених на рядки та стовпці. В алгебрі матриці використовуються для опису систем лінійних рівнянь, а також для вирішення різних задач. Однією з важливих операцій над матрицями є знаходження зворотної матриці, яка дозволяє вирішити систему лінійних рівнянь і знайти невідомі значення. Існує кілька способів знаходження оберненої матриці, і одним з них є спосіб приєднання матриці.
Спосіб приєднання матриці заснований на використанні додаткових матриць – алгебраїчних доповнень. Алгебраїчне доповнення елемента матриці-це число, яке дорівнює визначнику матриці, отриманої з вихідної матриці шляхом викреслювання рядка і стовпця, в яких знаходиться даний елемент. Для знаходження зворотної матриці спочатку необхідно знайти визначник вихідної матриці. Якщо визначник не дорівнює нулю, то матриця оборотна і можна приступати до знаходження алгебраїчних доповнень вихідної матриці.
Для знаходження зворотної матриці потрібно замінити всі елементи вихідної матриці їх алгебраїчними доповненнями і транспонувати вийшла матрицю. Таким чином, отримана матриця буде зворотною до вихідної матриці. Зворотна матриця позначається відповідним індексом. Так, зворотна матриця до матриці A буде позначатися як A -1 . Важливо відзначити, що для матриці A -1 також виконуються основні властивості матриць: множення на зворотну матрицю дає одиничну матрицю, а якщо матриці оборотні, то їх добуток також оборотно.
Зворотна матриця способом приєднання матриці
Для того щоб знайти зворотну матрицю способом приєднання матриці, потрібно виконати наступні кроки:
- Знайти визначник вихідної матриці.
- Якщо визначник дорівнює нулю, то оберненої матриці не існує.
- Обчислити алгебраїчні доповнення для кожного елемента вихідної матриці.
- Створити матрицю алгебраїчних доповнень і транспонувати її (поміняти місцями рядки і стовпці).
- Розділити транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень на визначник вихідної матриці.
Таким чином, спосіб приєднання матриці дозволяє знайти зворотну матрицю вихідної матриці, Якщо визначник не дорівнює нулю. Зворотна матриця є важливим поняттям в лінійній алгебрі і знаходить застосування в багатьох математичних та інженерних задачах.
Визначення зворотної матриці
Матриця A буде оборотною, якщо існує така матриця B, що виконується наступна рівність:
де A-вихідна матриця, B-зворотна матриця, E-одинична матриця.
Для того щоб знайти зворотну матрицю способом приєднання матриці, необхідно:
- Обчислити визначник матриці A.
- Якщо визначник дорівнює нулю, то оберненої матриці не існує.
- Обчислити алгебраїчні доповнення для кожного елемента матриці A.
- Транспонувати матрицю алгебраїчних доповнень.
- Помножити транспоновану матрицю на зворотну величину визначника матриці A.
Таким чином, знаходження оберненої матриці способом приєднання матриці дозволяє знайти матрицю, при множенні якої на вихідну матрицю виходить одинична матриця, що є важливою операцією в лінійній алгебрі.
Коли існує зворотна матриця
Зворотна матриця існує тільки для квадратних матриць, тобто матриць, у яких число рядків дорівнює числу стовпців.
Для того щоб знайти зворотну матрицю, необхідно перевірити умову невиродженості. Якщо визначник вихідної матриці дорівнює нулю, то оберненої матриці не існує.
Якщо вихідна матриця невироджена, то її зворотну можна знайти за допомогою методу приєднання матриці. Для цього необхідно:
1. Знайти алгебраїчне доповнення для кожного елемента вихідної матриці.
2. Скласти матрицю алгебраїчних доповнень, звану матрицею алгебраїчних доповнень.
3. Транспонувати отриману матрицю.
4. Розділити кожен елемент транспонованої матриці на визначник вихідної матриці.
5. Отримана таким чином матриця є зворотною матрицею вихідної.
Таким чином, обернена матриця існує лише для квадратних невироджених матриць і може бути отримана методом приєднання матриці.
Як знайти приєднану матрицю
Приєднана матриця обчислюється шляхом заміни кожного елемента вихідної матриці його алгебраїчного доповнення та зміни знака відповідно до його позиції в матриці. Алгебраїчне доповнення елемента-це визначник матриці, отриманої з вихідної матриці шляхом виключення рядка і стовпця, в яких знаходиться цей елемент, помножений на -1 відповідно до його позицією.
Знайдена приєднана матриця використовується для знаходження оберненої матриці шляхом ділення кожного елемента приєднаної матриці на визначник вихідної матриці. Обернена матриця є матрицею, яка при множенні на вихідну матрицю дає одиничну матрицю.
Приєднана матриця корисна при вирішенні систем лінійних рівнянь, так як вона дозволяє знайти рішення шляхом множення оберненої матриці на вектор правій частині системи.