При вирішенні квадратних рівнянь ми іноді стикаємося з ситуацією, коли дискримінант, обчислений за формулою D = B^2 - 4ac, виявляється негативним числом. Виникає питання: Як знайти коріння рівняння в цьому випадку?
Дискримінант-це величина, яка дозволяє нам визначити, скільки коренів має квадратичне рівняння. Якщо дискримінант позитивний, то рівняння має два різних кореня. Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має один корінь.
Однак, якщо дискримінант негативний, то квадратичне рівняння не має дійсних коренів в області дійсних чисел. Замість цього, коріння знаходяться в області комплексних чисел. Такі корені позначаються за допомогою уявної одиниці i, яка визначається як квадратний корінь з -1 (i = √-1).
Для знаходження коренів рівняння з негативним дискримінантом, потрібно використовувати комплексні числа. Формула для знаходження коренів в цьому випадку буде виглядати наступним чином: x = (-b ± √(-D)) / (2a), де D - дискримінант, a, b, c - коефіцієнти квадратного рівняння.
Вивчення поняття дискримінанта
Якщо дискримінант позитивний, то квадратичне рівняння має два різних кореня. Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має один корінь, який називається кратним. У випадку, якщо дискримінант негативний, коріння рівняння є комплексними числами.
Як знайти значення дискримінанта?
Формула для розрахунку дискримінанта має вигляд:
D = b 2 - 4ac
Значення дискримінанта дозволяє визначити, скільки коренів має квадратне рівняння і який характер у цих коренів. Якщо дискримінант позитивний (D > 0), то в рівнянні є два різні реальні корені. Коли дискримінант дорівнює нулю (d = 0), то у рівняння є один дійсний корінь, який є кратним. Якщо ж дискримінант негативний (d < 0), то у квадратного рівняння немає дійсних коренів, але є два комплексних кореня.
Знаючи формулу для розрахунку дискримінанта і значення коефіцієнтів a, b і C, можна легко визначити його значення і далі використовувати його для знаходження коренів квадратного рівняння.
Негативне значення дискримінанта: що це означає?
Негативне значення дискримінанту виникає у випадках, коли рівняння не має перетину з віссю абсцис або має тільки комплексні корені. Комплексні корені являють собою пару чисел виду a + bi, де A і b - дійсні числа, А i - уявна одиниця (i^2 = -1).
Таке явище виникає, коли подкоренное вираз в дискримінанті негативне. При цьому, якщо подкоренное вираз одно-d, де d - значення дискримінанта, то рівняння має два комплексних кореня. Якщо подкоренное вираз менше-d, то коріння даного рівняння будуть являти собою пару комплексно-Сполучених чисел.
Як знайти корінь квадратний з негативного дискримінанту?
Корінь квадратний з негативного числа неможливо знайти в безлічі дійсних чисел, так як нічого не існує, що при зведенні в квадрат дає негативне число. Однак, в математиці існує Комплексне безліч чисел, де корінь квадратний з негативного дискримінанту може бути знайдений.
Для знаходження кореня квадратного з негативного дискримінанту в комплексних числах, слід використовувати уявну одиницю i, яка визначається як i^2 = -1. Формула для знаходження комплексних коренів з негативного дискримінанту має вигляд:
- Якщо дискримінант дорівнює D і є негативним числом, то коріння матимуть формулу:
x1 = (a + b i)/2c
x2 = (a - b i)/2c
Де a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0.
Таким чином, при знаходженні кореня квадратного з негативного дискримінанту, результатом будуть комплексні числа, представлені у вигляді суми дійсної і уявної частини.
Приклади розв'язання рівнянь з негативним дискримінантом
Щоб знайти коріння рівняння з негативним дискримінантом, знадобиться використовувати комплексні числа. Корінь від'ємного числа реальної частини використовується для визначення уявної одиниці, позначеної як i. Також відомо, що i^2 = -1.
Давайте розглянемо приклади розв'язання рівнянь з негативним дискримінантом:
- Розглянемо рівняння x^2 + 4 = 0. Дискримінант дорівнює b^2 - 4ac = 0^2 - 4 * 1 * 4 = -16. Витягуючи корінь з дискримінанту, отримуємо sqrt(-16) = 4i. Отже, коріння рівняння рівні x = -2i і x = 2i.
- Розглянемо рівняння x^2 + 5x + 6 = 0. Дискримінант дорівнює b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 1. Для цього рівняння дискримінант позитивний, тому коріння будуть дійсними числами. Ми можемо вирішити рівняння, наприклад, за допомогою квадратичного рівняння:
- x = (-b + sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
- Підставивши значення в формулу: x = (-5 + sqrt(1)) / 2
- Отже, перший корінь дорівнює x = -3.
- Підставивши значення в формулу: x = (-5 - sqrt(1)) / 2
- Отже, другий корінь дорівнює x = -2.
Отже, коріння рівняння рівні x = -3 і x = -2.
Таким чином, при наявності негативного дискримінанта, коріння квадратного рівняння стають комплексними числами, що включають уявну одиницю i.