Квадратний корінь числа-це одна з основних арифметичних операцій, яку ми часто використовуємо в математиці. Але що робити, якщо у нас немає калькулятора або необхідно швидко знайти наближене значення кореня? Існують кілька методів, які дозволяють знайти квадратний корінь числа без використання операції кореня. У цій статті ми познайомимося з одним з таких методів – методом Ньютона.
Метод Ньютона-це ітераційний метод, який дозволяє знайти наближене значення кореня функції. У випадку з квадратним коренем числа, функція має вигляд f (x) = x^2 - a, де x – наближення кореня, а A – число, з якого ми шукаємо квадратний корінь. Ідея методу полягає в тому, що ми можемо знайти наближене значення кореня, використовуючи формулу: x_new = x - F(x) / F'(x), де x_new – нове наближення кореня, f'(x) – похідна функції f(x).
Процес обчислення квадратного кореня за допомогою методу Ньютона складається з декількох кроків. Спочатку ми вибираємо початкове наближення кореня, наприклад, половину від числа, з якого ми шукаємо корінь. Потім, поки різниця між попереднім і новим наближенням кореня більша за задану точність, ми повторюємо обчислення за формулою, оновлюючи значення x_new і порівнюючи його з попереднім значенням x. коли різниця стане меншою за задану точність, ми отримаємо приблизне значення квадратного кореня числа.
Загальна інформація про квадратних коренях
Квадратний корінь позначається символом √ і записується у вигляді √x, де x - число, з якого потрібно знайти корінь.
Процес знаходження квадратного кореня звернений операції зведення в квадрат. Початкове число, з якого потрібно знайти корінь, називається радикалом. Якщо число має позитивний корінь, то результатом є число, у якого квадрат дорівнює вихідному числу.
Щоб знайти корінь числа, можна використовувати різні методи, такі як метод підбору, метод ітерацій або спеціальні алгоритми, засновані на математичних формулах.
Квадратний корінь має ряд властивостей, які дозволяють спростити обчислення та використання цієї операції в різних математичних задачах.
У таблиці нижче наведені основні властивості квадратних коренів:
| Властивість | Опис |
|---|---|
| √a * √b = √(a * b) | Добуток коренів дорівнює кореню від добутку чисел |
| √a / √b = √(a / b) | ПРИВАТНЕ коренів дорівнює кореню від приватного чисел |
| √(a + b) ≤ √a + √b | Корінь із суми чисел не перевищує суму коренів |
| √(a - b) ≤ √a - √b | Корінь з різниці чисел не перевершує різницю коренів |
Квадратні корені знаходять застосування в різних галузях, таких як фізика, статистика, Інженерія та технічні науки. Вони використовуються для вирішення рівнянь, пошуку довжин сторін трикутників, аналізу даних та багатьох інших проблем.
Методи знаходження квадратного кореня
Квадратний корінь числа можна знайти не тільки за допомогою операції вилучення кореня, але і за допомогою різних математичних методів. Розглянемо кілька основних методів знаходження квадратного кореня:
- Метод ітерацій. Цей метод заснований на послідовних наближеннях квадратного кореня числа. Спочатку вибирається початкове наближення, потім за допомогою ряду ітерацій отримуємо все більш точне значення квадратного кореня.
- Метод Ньютона. Цей метод також використовує послідовні наближення, але на відміну від попереднього методу, тут використовується похідна функції, в якій міститься шуканий корінь.
- Метод поділу відрізка навпіл. Цей метод заснований на принципі половинного ділення інтервалу, в якому знаходиться шуканий квадратний корінь. Використовується властивість квадратного кореня-якщо число менше одиниці, то його квадратний корінь більше самого числа, і навпаки.
- Метод наближення квадратного кореня через розкладання в ряд. Цей метод заснований на розкладанні числа в нескінченний ряд і наближеному обчисленні квадратного кореня із заданою точністю.
- Метод використання таблиці квадратів чисел. Цей метод заснований на попередньому складанні таблиці квадратів чисел і подальшому зіставленні шуканого числа з відповідним значенням з таблиці.
Кожен з цих методів має свої особливості і застосовується в залежності від завдання і доступних ресурсів. Вибір методу для знаходження квадратного кореня може істотно впливати на точність і швидкість обчислень. Але незалежно від обраного методу, важливо пам'ятати про можливість помилок округлення і обмеження обраного чисельного методу.
Спосіб 1: Метод ітерації
1. Виберіть початкове наближення для квадратного кореня. Наприклад, якщо ви хочете знайти квадратний корінь з числа 16, то початкове наближення може дорівнювати 4.
2. Використовуючи вибране початкове наближення, знайдіть наступне наближення, підставивши його у формулу:
де xn+1 - нове наближення, xn - попереднє наближення, a-число, квадратний корінь якого ви хочете знайти.
3. Повторюйте Крок 2 до досягнення бажаної точності наближення. Точність можна контролювати порівнянням різниці між поточним і попереднім наближенням і необхідним значенням.
Наприклад, для пошуку квадратного кореня з числа 16 з точністю до двох знаків після коми, можна використовувати наступний алгоритм:
Початкове наближення: 4
x1 = (4 + (16 / 4)) / 2 = 5
x2 = (5 + (16 / 5)) / 2 = 4.1
x3 = (4.1 + (16 / 4.1)) / 2 = 4.02
Продовжуйте ітерації, поки різниця між поточним та попереднім наближенням не стане меншою за необхідну точність. Це дозволить наближено знайти квадратний корінь заданого числа.