Вивчення графіків функцій є важливою частиною математики. Одним з ключових аспектів аналізу графіків є визначення, чи є функція зростаючою або спадною на заданому інтервалі.
Зростаюча функція-це функція, значення якої збільшуються при збільшенні аргументу. Тобто, при русі зліва направо на графіку, точки функції переміщаються вгору.
Щоб визначити, чи є функція зростаючою на заданому інтервалі, необхідно проаналізувати її похідну. Якщо похідна позитивна на всьому інтервалі, то функція є зростаючою. Якщо похідна негативна, то функція є спадною. Таким чином, знання похідної функції дозволяє нам точно визначити її поведінку на інтервалі.
Основні ознаки зростаючої функції:
- Графік функції піднімається вгору знизу вгору (зліва направо).
- Між будь-якими двома точками на графіку функції, де аргументи різні, значення функції в правій точці більше значення функції в лівій точці.
- Похідна функції позитивна на всій області визначення.
- Точки екстремуму зростаючої функції є мінімумами.
- Пряма, що проходить через будь-яку пару точок на графіку зростаючої функції, має позитивний нахил.
- Друга похідна функції позитивна на всій області визначення.
- На інтервалах зростання функції вона строго монотонна.
Визначаючи природу функції, важливо враховувати всі перераховані ознаки, щоб не допустити помилки в її класифікації.
Характеристики кривої графіка функції
- Нахил графіка: якщо графік функції має позитивний нахил (тобто прагне вгору) на всьому своєму проміжку, то функція є зростаючою. Якщо графік має негативний нахил (тобто прагне вниз) на всьому своєму проміжку, то функція є спадною.
- Точки екстремуму: на графіку функції можна знайти точки екстремуму, які представляють собою точки максимального або мінімального значення функції. Якщо точка екстремуму знаходиться у верхній частині графіка, то функція є спадною. Якщо точка екстремуму знаходиться в нижній частині графіка, то функція є зростаючою.
- Перетин осі абсцис: якщо графік функції перетинає вісь абсцис в точці, то це означає, що функція змінює свій знак від позитивного до негативного або навпаки. Якщо функція змінює свій знак з позитивного на негативний після перетину осі абсцис, то вона є спадною. Якщо функція змінює свій знак з негативного на позитивний після перетину осі абсцис, то вона є зростаючою.
Знак похідної функції
Якщо похідна функції більше нуля на інтервалі, то функція є зростаючою на цьому інтервалі. Наприклад, якщо похідна позитивна на інтервалі (a, b), то функція зростає на цьому інтервалі.
Якщо похідна функції менше нуля на інтервалі, то функція є спадною на цьому інтервалі. Наприклад, якщо похідна негативна на інтервалі (a, b), то функція зменшується на цьому інтервалі.
Якщо похідна функції дорівнює нулю в точці, то функція може бути екстремумом на цьому інтервалі. Для визначення наявності екстремуму необхідно додаткове дослідження функції.