Просте число називаються числа, які мають всього два дільника: одиницю і саме себе. Завдання перевірки числа на простоту є важливим завданням в математиці та інформатиці. Вона використовується в шифруванні, генерації випадкових чисел, обчисленні великих простих чисел і ін.
Існує кілька методи та алгоритми для перевірки чисел на простоту. У даній статті розглянемо найбільш популярні з них.
Перший метод заснований на простій перевірці ділення числа на всі числа від 2 до кореня з самого числа. Якщо при перевірці жодне з чисел не є дільником, то число є простим. Цей метод простий і зрозумілий, але його ефективність залежить від величини числа.
Другий метод заснований на використанні решета Ератосфена. Цей метод дозволяє знайти всі прості числа від 2 до заданого числа. Пошук простого числа відбувається шляхом видалення всіх його кратних від числа 2 до самого числа. Якщо після чергової ітерації число не було видалено, то залишається простим.
Просте число: що це і навіщо перевіряти?
Перевірка числа на простоту є важливою операцією в програмуванні та математиці. Вона дозволяє визначити, чи є число простим або складовим, тобто чи має воно Додаткові дільники крім 1 і самого себе.
Перевірка на простоту може використовуватися для різних цілей. Наприклад, при вирішенні задач алгоритмічного характеру необхідно знати, чи є число простим, щоб виконати певні операції. Також перевірка простоти може застосовуватися в оптимізації коду, щоб уникнути зайвих операцій і прискорити виконання програми.
Існує безліч методів і алгоритмів для перевірки числа на простоту, кожен з яких має свої особливості і ефективність. Деякі алгоритми є простішими та швидшими, але менш точними, тоді як інші можуть бути складнішими, але більш точними. Вибір методу перевірки залежить від конкретного завдання і вимог до точності і швидкості виконання.
Основні методи перевірки числа на простоту
1. Метод перебору дільників:
Цей простий метод полягає в тому, щоб послідовно перевіряти всі числа від 2 до n-1 на ділення на задане число n. Якщо хоча б одне з цих чисел є дільником, то число n є складовим. Якщо жодне з чисел не є дільником, то число n є простим.
2. Метод пробного поділу:
Цей метод є більш ефективним, ніж метод перебору дільників. Він заснований на тому, що якщо число n є складеним, то воно має простий дільник, який не перевищує квадратний корінь з n. тому для перевірки числа на простоту досить перевірити його на ділення на всі прості числа до квадратного кореня з n. Якщо жодне з цих чисел не є дільником, то число n є простим.
3. Метод тесту Міллера-Рабіна:
Цей метод заснований на імовірнісних алгоритмах і використовується для перевірки великих чисел на простоту. Він заснований на теоремі Міллера-Рабіна, яка дозволяє визначити, чи є число простим з високою ймовірністю. При використанні цього методу число піддається декільком раундам перевірок, в результаті яких обчислюється ймовірність простоти числа.
4. Метод тесту Ферма:
Цей метод заснований на малій теоремі Ферма, яка стверджує, що якщо число n є простим, то для будь-якого цілого числа A, що не ділиться на n, виконується a^(n-1) congruent 1 (mod n), де "^" позначає піднесення до степеня, а "congruent" позначає порівняння за модулем n. цей метод використовується для перевірки простоти великих чисел.
Кожен із цих методів має свої переваги та недоліки, і вибір методу залежить від вимог та обмежень конкретного завдання. Важливо пам'ятати, що перевірка числа на простоту є складним завданням, особливо для великих чисел, і вимагає використання ефективних алгоритмів і методів.
Метод ділення на прості числа
Алгоритм цього методу складається з наступних кроків:
- Вибираємо перше просте число для ділення, це може бути 2.
- Перевіряємо, чи ділиться задане число на вибране просте число без залишку.
- Якщо ділиться без залишку, значить число не є простим і алгоритм завершується.
- Якщо не ділиться без залишку, вибираємо наступне просте число для ділення і повторюємо кроки 2-3.
- Продовжуємо цей процес до тих пір, поки не досягнемо кореня із заданого числа або до тих пір, поки не виявимо дільник.
Цей метод ґрунтується на тому факті, що якщо число не є простим, то воно повинно мати дільник, менший або рівний його кореню, тому немає сенсу перевіряти дільники, великі кореня із заданого числа.
Метод ділення на прості числа простий в реалізації і працює швидко на числах невеликої величини. Однак, на великих числах він може бути не так ефективний, оскільки вимагає знаходження всіх простих чисел до кореня із заданого числа, що може зайняти тривалий час для великих чисел.
Метод перевірки на подільність до кореня
Один з методів перевірки чисел на простоту полягає в перевірці дільників до квадратного кореня цього числа. Якщо число n складене, то n можна представити у вигляді добутку двох чисел a і b таких, що a*b=n. Один з цих двох чисел завжди буде менше або дорівнює квадратному кореню з n.
Для застосування даного методу досить послідовно перевірити всі дільники до квадратного кореня з числа, і якщо знайдеться дільник, то число не є простим. Якщо жодного дільника не знайдено, то число є простим.
Перевага цього методу полягає в тому, що він дозволяє значно скоротити кількість поділів, оскільки не потрібно перевіряти всі числа до n, а тільки числа до кореня з n.
Однак слід зазначити, що цей метод не є повним гарантом простоти числа. Наприклад, для числа 561 це не спрацює, оскільки 561=3*11*17 і на кожному кроці перевірки ділення до кореня з 561 не буде знайдено дільника.
Методи перевірки з використанням решета Ератосфена
Основна ідея решета Ератосфена полягає в наступному:
- Створюється масив чисел від 2 до заданого числа, яке потрібно перевірити на простоту.
- Перше просте число, 2, є першим елементом масиву.
- Решта числа записуються в масив зі значенням "просте".
- Далі, починаючи з 2, всі числа, які є кратними 2 (крім самого 2), позначаються як "складене".
- Потім вибирається перше невідмічене число (3) і всі числа, кратні 3 (крім самого 3), позначаються як "складені".
- Процес повторюється для всіх невідмічених чисел у масиві.
- В результаті залишаться лише числа, які не були позначені як "складені", тобто прості числа.
Перевага решета Ератосфена в його часовій складності-O(n*log(log (n))). Це робить його одним з найефективніших методів перевірки числа на простоту.
Приклад реалізації решета Ератосфена мовою Python:
def sieve_of_eratosthenes(n):prime = [True for i in range(n+1)]p = 2while p * p Ця функція приймає на вхід значення n і повертає список всіх простих чисел до n.
Перевірка числа на простоту з використанням решета Ератосфена є ефективним способом, який дозволяє швидко і точно визначити, чи є число простим.
Алгоритми перевірки числа на простоту
Один з найбільш простих і популярних алгоритмів – алгоритм перебору дільників. Для перевірки числа на простоту цей алгоритм виконує послідовну перевірку дільників від 2 до n-1, де n – перевіряється число. Якщо в процесі перебору знаходиться хоча б один дільник, то число не є простим.
Іншим поширеним алгоритмом перевірки числа на простоту є алгоритм "Решето Ератосфена". У цьому алгоритмі створюється список всіх чисел від 2 до n, де n – перевіряється число. Потім починається процес поетапного відсіювання всіх складових чисел. Алгоритм повторює процес, поки не залишаться лише прості числа. Якщо перевіряється число знаходиться в цьому списку простих чисел, то воно є простим.
Існують також більш складні алгоритми перевірки чисел на простоту, такі як тести Міллера-Рабіна та тест Лукаса-Лемера, які базуються на математичних концепціях і дають більш точні результати. Вони використовуються для перевірки дуже великих чисел або чисел, які мають спеціальні властивості.
Однак у більшості випадків, особливо при перевірці малих чисел, достатньо простих алгоритмів, таких як перебір дільників або "Решето Ератосфена". Вони легко реалізуються і мають низьку обчислювальну складність.
Вибір алгоритму перевірки числа на простоту залежить від конкретної ситуації: від розміру числа, необхідної точності та ефективності. Тому перед використанням алгоритму слід оцінити розмір числа та необхідну точність, щоб вибрати найбільш підходящий метод.
Алгоритм Ферма
Алгоритм Ферма полягає в наступних кроках:
- Вибрати випадкове число a від 2 до n-1, де n - число, яке потрібно перевірити на простоту.
- Обчислити значення a^(n-1) по модулю n.
- Якщо отримане значення не дорівнює 1, то число n не є простим.
- Повторіть кроки 1-3 для декількох різних значень a.
- Якщо всі перевірки пройдені успішно, то число n з високою ймовірністю є простим.
Алгоритм Ферма дозволяє досить швидко перевіряти числа на простоту. Однак, існують числа Кармайкла, для яких алгоритм може дати невірну відповідь. Щоб усунути цю проблему, можна застосувати алгоритм Міллера-Рабіна, який є вдосконаленням алгоритму Ферма.
Алгоритм Міллера-Рабіна
Основною ідеєю алгоритму Міллера-Рабіна є перевірка числа на простоту з використанням властивостей композитного числа (число, яке не є простим). У своїй роботі алгоритм використовує випадкові числа і не дає абсолютної гарантії на коректність результату, але має високу ймовірність визначення простоти числа.
Алгоритм Міллера-Рабіна складається з декількох кроків:
- Вибрати випадкове число A з інтервалу [2, n-2].
- Обчислити значення y за формулою y = a^d mod n, де d = n-1. Значення d розкладається на добуток ступенів двійки: d = 2^R * S, де S - Непарне.
- Якщо y = 1 або y = n-1, то число n можна вважати простим.
- Продовжити обчислення наступним чином: для i Від 1 до r-1 обчислити y = y^2 mod n.
- Якщо y = 1, то число n можна вважати складовим.
- Якщо y = n-1, то число n можна вважати простим.
- Якщо жодна з умов не виконана, число n є складовим.
Повторити алгоритм кілька разів для різних випадкових чисел a. чим більше разів буде виконаний алгоритм з різними числами a, тим більша ймовірність того, що число n буде визначено вірно.
Алгоритм Міллера-Рабіна є ефективним і швидким способом перевірки чисел на простоту. Він широко використовується як при роботі з великими числами, так і в криптографії для генерації простих чисел і перевірки чисел на простоту.
| Число n | Результат |
|---|---|
| 17 | Простій |
| 25 | Складовий |
| 37 | Простій |
Алгоритм Тесту Соловея-Штрассена
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
Таким чином, якщо для заданого числа n виконується дана рівність, то n - просте число. Якщо ж рівність не виконується для деяких значень a, то n - складене число.
Алгоритм тесту Соловея-Штрассена виконує кілька ітерацій, в кожній з яких вибирається випадкове число a. для кожної ітерації алгоритм перевіряє виконання рівності. Якщо рівність виконується для всіх ітерацій, то число з високою ймовірністю є простим.
Однак у деяких випадках може виникнути ситуація, яка називається помилковим спрацьовуванням. Це означає, що для складеного числа алгоритм може вважати його простим. Щоб зменшити ймовірність помилкових спрацьовувань, можна вибирати випадкові значення A з діапазону 2
Алгоритм тесту Соловея-Штрассена є ефективним і часто використовується в практиці перевірки чисел на простоту. Однак він не гарантує абсолютної вірності результату і може давати помилкові спрацьовування для деяких чисел.