Побудова площини по трьох точках в призмі є важливим завданням в геометрії. Цей процес вимагає певних навичок і знань, але впоратися з ним можна, дотримуючись певних кроків.
Першим кроком є вибір трьох точок в призмі, за якими буде будуватися площину. Тут важливо вибрати точки, які знаходяться на різних сторонах призми, щоб площина вийшла репрезентативною для всієї структури.
Після вибору точок необхідно знайти нормаль до площини. Для цього можна скористатися формулою для знаходження нормалі в тривимірній системі координат. Нормаль-вектор, перпендикулярний площині, і його координати можуть бути обчислені з використанням координат обраних раніше точок.
Далі необхідно встановити площину, використовуючи знайдену нормаль і будь-яку з обраних точок як опорну. Можна використовувати метод перетину площини з грані призми, щоб отримати більш точне уявлення про площину та її положення щодо структури в цілому.
Як побудувати площину в призмі
Для побудови площини в призмі, необхідно знати координати трьох точок, що належать цій площині.
- Визначте координати трьох точок у просторі.
- Використовуючи ці точки як вершини трикутника, побудуйте його на площині в тривимірному просторі.
- На знайденій площині проведіть перпендикуляр до прямої, що проходить через дві інші точки трикутника.
- Побудуйте пряму, що проходить через цей перпендикуляр і третю точку трикутника.
- Продовжуйте цю пряму, поки вона не перетне площину.
- Отримана точка перетину прямої з площиною є четвертою вершиною призми.
Таким чином, дотримуючись цих кроків, ви зможете побудувати площину в призмі, задану трьома точками.
Крок 1: Визначення трьох точок
- Виберіть призму, в якій будете будувати площину.
- Визначте три точки на різних гранях призми. Призма повинна мати принаймні три грані, щоб можна було вибрати точки з різних сторін.
- Запишіть координати вибраних точок. Координати можуть бути вказані у вигляді (x, y, z), де x, y і z - значення по осях X, Y і Z відповідно.
- Перевірте, що вибрані точки не лежать на одній прямій. Це можна зробити, побудувавши відрізки між точками і перевіривши, що вони не перетинаються.
- Обрана призма з гранями A, B і C.
- На грані a обрана точка A1, на грані b - точка B1, на грані C - точка C1.
- Координати точок: A1(2, 4, 6), B1(1, 3, 5), C1 (3, 7, 9).
- Перевірено, що точки a1, b1 і C1 не лежать на одній прямій.
Крок 2: Побудова кордонів призми
Для цього з'єднуємо точки правильним чином, щоб отримати трикутник, основою якого буде одна зі сторін призми.
Крім того, потрібно позначити верхню грань призми, яка буде паралельна основи і з'єднана з вершинами трикутника.
Остаточно межі призми повинні бути ретельно проведені за допомогою лінійки і олівця, щоб забезпечити точність і чіткість конструкції.
Після завершення цього кроку, у вас повинна бути повністю намальована межа призми на площині.
Крок 3: знаходження нормалі площини
Для знаходження нормалі площині, побудованої за трьома точками A (x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) і C (x3, y3, z3), потрібно виконати наступні кроки:
| Крок | Дія |
|---|---|
| 1 | Побудувати два вектори: AB = b - a і AC = C-a, Де " - " означає різницю координат векторів. |
| 2 | Знайти векторний добуток AB × AC = (ABy * ACz - ABz * ACy, ABz * ACx - ABx * ACz, ABx * ACy - ABy * ACx). |
| 3 | Нормалізувати вектор, розділивши його кожну координату на довжину вектора: n = (x / |n|, y / |n|, z / |n|), де |n| - довжина вектора n. |
Тепер у вас є нормаль площини, яку можна використовувати для подальших обчислень або відображення на графіку. Наприклад, якщо нормаль площини спрямована вниз, це означає, що площина нахилена вниз.
Крок 4: обчислення параметрів площини
Тепер, коли ми маємо рівняння площини виду Ax + By + Cz + D = 0, нам потрібно обчислити значення параметрів a, b, c і D. для цього ми можемо використовувати одну з трьох точок, які ми вибрали для побудови площини. Давайте виберемо першу точку P1 (x1, y1, z1) і підставимо її координати в рівняння площини.
Нехай P1(X1, y1, z1) - перша точка, P2(x2, y2, z2) - друга точка і P3 (x3, y3, z3) - третя точка. Тоді рівняння площини матиме вигляд:
Ax + By + Cz + D = 0
Підставляючи координати першої точки, отримаємо:
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
Для обчислення параметрів площини нам необхідно знайти значення D. Для цього можна використовувати наступну формулу:
D = -Ax1 - By1 - Cz1
Тепер ми маємо значення параметрів A, B, C і D, які повністю визначають рівняння площини, що проходить через три задані точки в призмі.
Крок 5: побудова площини за точками та параметрами
Після того, як ми обчислили значення x, y і z для кожної з трьох точок, ми можемо побудувати площину, що проходить через ці точки.
Рівняння площини має вигляд: Ax + By + Cz + D = 0, Де A, B, C і D - параметри площини.
Для визначення значень параметрів площини, ми можемо використовувати одну з трьох точок, наприклад, першу. Підставимо координати цієї точки в рівняння площини і вирішимо отримане рівняння щодо параметрів.
Отримані значення A, B, C і D є параметрами площини, що проходить через задані точки.
Тепер ми можемо використовувати отримані параметри для побудови площини в тривимірному просторі за допомогою програмного забезпечення, що підтримує тривимірну графіку, наприклад Blender або AutoCAD.
Приклади побудови площини в призмі:
Для побудови площини в призмі по трьох точках необхідно виконати наступні кроки:
- Знайти координати трьох заданих точок в призмі.
- Скласти систему лінійних рівнянь, використовуючи координати знайдених точок.
- Вирішити систему рівнянь, щоб знайти параметри рівняння площини.
- Використовуючи отримані параметри рівняння, побудувати площину в просторі.
Для наочності розглянемо кілька прикладів:
- Приклад 1: Дано точки A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) і C (7, 8, 9).
- Крок 1: Координати всіх трьох точок вже дані.
- Крок 2: Складаємо систему рівнянь:
1x + 2y + 3z + d = 0
4x + 5y + 6z + d = 0
7x + 8y + 9z + d = 0 - Крок 3: Вирішуємо систему рівнянь, наприклад, методом Гаусса. Отримуємо значення параметрів рівняння площини: a = -3, B = 6, c = -3, d = -3.
- Крок 4: Використовуючи отримані параметри, будуємо рівняння площини: - 3x + 6y - 3Z-3 = 0.
Таким чином, площина, що проходить через задані точки A, B і C, має рівняння-3x + 6y - 3Z - 3 = 0.
- Приклад 2: Дано точки P(2, -1, 3), Q(4, 2, 1) і R (6, 3, -1).
- Крок 1: Координати всіх трьох точок вже дані.
- Крок 2: Складаємо систему рівнянь:
2x - y + 3z + d = 0
4x + 2y + z + d = 0
6x + 3y - z + d = 0 - Крок 3: Вирішуємо систему рівнянь, наприклад, методом Гаусса. Отримуємо значення параметрів рівняння площини: a = -1, b = 0, c = 1, d = 0.
- Крок 4: Використовуючи отримані параметри, будуємо рівняння площини: - x + z = 0.
Таким чином, площина, що проходить через задані точки P, Q і R, має рівняння-x + z = 0.