Побудова площини через рівняння-завдання, з яким стикаються в навчанні математики та геометрії не тільки учні, а й студенти вищих навчальних закладів. Це важливий навик, який дозволяє визначити положення площини в просторі і побудувати її графічне представлення.
Важливо розуміти, що рівняння площини містить інформацію про її координати і вектор нормалі, який перпендикулярний площині. Використовуючи прості кроки, ви зможете побудувати площину і наочно уявити її геометричний вигляд.
Для початку необхідно встановити взаємозв'язок між рівнянням площині і її графічним зображенням. Знаючи рівняння площини, ми можемо визначити її положення в просторі, а потім побудувати її за допомогою координатних осей.
Визначення рівняння площини
Рівняння площини може бути представлено в загальному вигляді:
Ax + By + Cz + d = 0
Де A, B і C - коефіцієнти, які визначають нормаль вектора площини, А d - відстань від початку координат до площини.
Рівняння площини можна також записати у векторній формі:
n · r + d = 0
Де n-нормальний вектор площини, R-радіус-вектор точки на площині, А d - відстань від початку координат до площини.
Визначення рівняння площини дозволяє нам легко описувати та вирішувати задачі, пов'язані з цим геометричним об'єктом.
Крок 1: Пошук нормального вектора площини
Для знаходження нормального вектора площині необхідно знати координати будь-яких трьох розбіжних точок на площині. Нехай ці точки мають координати (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) та (x3, y3, z3).
Далі, щоб знайти вектори між цими точками, віднімаємо координати початкової точки від координат кінцевої точки. Наприклад, вектор між точками A (x1, y1, z1) і B (x2, y2, z2) буде виглядати так:
- Вектор AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
Знайшовши вектори AB та AC (між точками A (x1, y1, z1) та C (x3, Y3, z3)), ми можемо знайти їх векторний добуток, щоб отримати нормальний вектор площини. Векторний добуток двох векторів можна знайти за допомогою наступної формули:
- Нормальний вектор площини = AB x AC
Розклавши цю формулу, ми отримаємо координати кожного елемента нормального вектора. Нормальний вектор площини матиме координати (a, b, c), де A, B і c - коефіцієнти перед змінними x, y і z у рівнянні площини відповідно.
Знайдений нормальний вектор площини дозволяє нам перейти до наступного кроку - запису рівняння площини.
Крок 2: Побудова площини
Побудова площини по її рівнянню здійснюється з використанням трьох точок, що лежать на даній площині. Знайдіть координати трьох точок, що задовольняють рівняння площини.
1. Виберіть довільне значення для однієї з координат (наприклад, x=0, y=0 або z=0) і підставте його в рівняння площини. Знайдіть значення РЕШТИ координат.
2. Повторіть крок 1 для інших двох координат, отримавши значення для всіх трьох точок.
3. Побудуйте площину, використовуючи знайдені координати точок. На графічній площині проколіть маркери відповідно до отриманих значень.
4. З'єднайте точки і перевірте, що відрізки між ними паралельні.