Авто регресійно-зсувна середня модель (ARMA) є однією з найважливіших та найширше використовуваних моделей в аналізі часових рядів. Вона дозволяє прогнозувати майбутні значення ряду на основі його попередніх значень і випадкової складової. Однією з найпопулярніших програм для побудови моделей ARMA є Gretl.
Gretl - це потужна та безкоштовна програма з відкритим вихідним кодом, яка надає широкий набір статистичних інструментів для аналізу даних. Вона має простий та інтуїтивно зрозумілий інтерфейс, що робить її доступною для широкого кола користувачів.
Для побудови моделі ARMA в програмі Gretl необхідно виконати кілька кроків. По-перше, потрібно імпортувати дані часового ряду в програму. Потім слід проаналізувати ряд на його стаціонарність і за необхідності застосувати відповідні перетворення. Після цього можна переходити до оцінки параметрів.моделі та перевірці її адекватності. Щоб використати всі можливості програми, рекомендується ознайомитися з документацією або пройти навчальні курси.Що таке модель ARMA в програмі GretlARMA модель складається з двох компонентів - авторегресійної (AR) та ковзаючого середнього (MA). Авторегресійна компонента пояснює поточне значення ряду через попередні значення, а ковзаюче середнє компонента враховує статистичні помилки попередніх значень.Програма Gretl надає користувачеві можливість побудувати модель ARMA за допомогою доступних статистичних методів. При побудові моделі ARMA в Gretl необхідно вибрати порядки авторегресійних та ковзаючих середніх компонент, які найкраще відповідатимуть обраному часовому ряду.Після побудови моделі ARMA в Gretl можна провести різні статистичні аналізи, такі як оцінка параметрів моделі, перевірканаявності автокореляції та адекватності моделі, а також отримання прогнозів для часового ряду.Gretl надає широкі можливості для роботи з моделлю ARMA, включаючи графічне представлення часового ряду, аналіз інваріантності, порівняння різних моделей ARMA та інші корисні функції.Переваги використання моделі ARMA1. Гнучкість і адаптивність. Модель ARMA дозволяє враховувати як авторегресійний, так і ковзний середній компоненти часового ряду. Це дає змогу точніше описувати закономірності та динаміку даних.2. Урахування сезонності. Модель ARMA може бути розширена для врахування сезонності, що дозволяє аналізувати та прогнозувати часові ряди з періодичністю.3. Прогнозування та аналіз. Завдяки врахуванню авторегресійного та ковзного середнього компонентів, модель ARMA може бути використана для прогнозуваннямайбутніх значень тимчасового ряду та аналізу його динаміки.4. Стійкість до викидів.Модель ARMA може бути застосована у разі наявності викидів або аномалій у даних, за умови відповідної попередньої обробки та пояснення цих аномалій.5. Розрахунок статистичних показників.Окрім прогнозування, модель ARMA також дозволяє оцінити статистичні показники тимчасового ряду, такі як автокореляція, коефіцієнт детермінації та інші, що може бути корисно для більш детального аналізу даних.Усі ці переваги роблять модель ARMA незамінним інструментом при роботі з тимчасовими рядами, особливо в задачах аналізу даних, економічного прогнозування та фінансового моделювання.Вибір та підготовка данихПеред побудовою моделі ARMA в програмі Gretl необхідно правильно вибрати та підготувати дані. У цьому розділі ми розглянемо основні кроки цього процесу.Вибір тимчасового ряду:По-перше, необхідно визначитися з вибором тимчасового ряду, на основі якого буде побудована модель ARMA. Для цього можна використовувати статистичні дані, історичну інформацію або будь-який інший набір даних, що характеризується хронологічним порядком.Перевірка стаціонарності:Другим кроком є перевірка стаціонарності тимчасового ряду. Стаціонарність означає, що статистичні властивості ряду (такі як середнє та дисперсія) не змінюються з часом. У разі нестаціонарності ряду, необхідно застосувати методи перетворення (наприклад, диференціювання) для досягнення стаціонарності.Видалення тренду та сезонності:Якщо тимчасовий ряд містить тренд або сезонні коливання, то перед побудовою моделі ARMA необхідно їх видалити. Це можна зробити шляхом застосування методів диференціювання,згладжування або декомпозиції ряду.Розділення на навчальну та тестову вибірки:Для оцінки якості побудованої моделі ARMA необхідно розділити часовий ряд на навчальну та тестову вибірки. Навчальна вибірка використовується для оцінювання параметрів моделі, а тестова вибірка - для перевірки прогнозів, зроблених моделлю.Правильний вибір і підготовка даних є важливими кроками перед побудовою моделі ARMA. Неправильний вибір часового ряду або неправильна обробка даних можуть призвести до невірних результатів і непридатності моделі для прогнозування. Тому слід приділити достатньо уваги цим крокам.Вибір необхідних даних для моделі ARMAДосліджуйте часовий ряд даних: перш ніж вибрати дані для моделі ARMA, необхідно провести попередній аналіз досліджуваного часового ряду. Оцініть його стаціонарність, наявність трендів, циклів і сезонності.
2. Перегляд даних
Після завантаження даних рекомендується переглянути їх, щоб переконатися в правильності та повноті інформації. У програмі Gretl ви можете відкрити вікно з даними та переглянути перші кілька рядків за допомогою команди "Поглянути. " .
3. Очищення даних
Якщо ви виявите пропущені значення або викиди, необхідно провести очищення даних, щоб позбутися некоректних або неповних спостережень. У програмі Gretl ви можете скористатися різними методами очищення даних, такими як видалення рядків з пропущеними значеннями або заміна викидів на середні значення.
4. Підготовка тимчасових рядів
Якщо ваші дані представляють собою тимчасовий ряд, необхідно правильно підготувати його для аналізу. У програмі Gretl ви можете перетворювати дані за допомогою різних методів, таких як згладжування, диференціювання або сезонне коригування.
Після проведення всіх необхідних кроків підготовки даних, ви будете готові розпочати побудову моделі ARMA у програмі Gretl.
Оцінка моделі ARMA у програмі Gretl
Для оцінки моделі ARMA у програмі Gretl потрібно виконати кілька кроків. По-перше, необхідно імпортувати дані у форматі .csv або .txt за допомогою команди "Запуск-Імпорт даних". Після цього можна починати роботу з моделлю.
По-друге, для побудови моделі ARMA необхідно визначити значення параметрів моделі - p та q. Параметр p визначає кількість авторегресійних лагів у моделі, а параметр q - кількість ковзаючих середніх лагів. Вибір оптимальних значень цих параметрів може здійснюватися за допомогою різних критеріїв, таких як інформаційні критерії Акаїке (AIC), Шварца (BIC) або Куїн-Акаїке (HQIC).
Для оцінки моделі ARMA в Gretl можна скористатися командою "Модель-Оцінити-ARMA". В в вікні, яке з'явиться після вибору даної команди, необхідно ввести необхідні значення параметрів p та q, а також вибрати метод оцінки моделі - Метод Максимального правдоподібності (ММП) або Метод Найменших Квадратів (МНК). Після цього необхідно натиснути на кнопку "Ок", щоб побудувати модель.Після побудови моделі ARMA в програмі Gretl можна приступити до аналізу результатів. По-перше, необхідно оцінити значущість коефіцієнтів моделі за допомогою відповідних статистичних тестів, таких як t-тест або F-тест. Якщо коефіцієнти моделі виявляються значущими, це означає, що вони статистично відрізняються від нуля і можуть бути використані для аналізу часового ряду.Крім того, в програмі Gretl можна оцінити якість підгонки моделі шляхом розрахунку статистики Дарбіна - Уотсона. Ця статистика дозволяє оцінити наявність автокореляції в залишках моделі. Якщо значення статистики Дарбіна - Уотсона близьке до 2,це означає відсутність автокореляції. Якщо значення статистики менше 2, це може вказувати на наявність позитивної автокореляції, а якщо значення статистики більше 2 - на наявність від'ємної автокореляції.Оцінка моделі ARMAОписПараметри моделіВизначення значень параметрів p і qОцінка моделіВведення значень параметрів і вибір методу оцінки моделіАналіз результатівОцінка значущості коефіцієнтів моделі та якості підгонки моделіВ цілому, оцінка моделі ARMA в програмі Gretl є відносно простою і дозволяє отримати достатньо надійні результати. Однак, для більш точної оцінки моделі бажано провести більш глибокий аналіз результатів і перевірку моделі на різні специфікації.Оцінка стаціонарності тимчасового рядуОдним з перших методів для оцінки стаціонарностітимчасового ряду є візуальний аналіз. Необхідно побудувати графіки тимчасового ряду та його автокореляційної функції (ACF). Якщо ряд не має явного тренду та сезонності, а також ACF швидко затухає, то можна припустити, що ряд стаціонарний.Для більш формальної оцінки стаціонарності можна використовувати статистичні тести, такі як тест розширеного Дікі-Фуллера (ADF) або тест Квіаткоўскі-Філліпса-Шмідта-Шина (KPSS). Тест ADF перевіряє наявність одиничного кореня в ряді, а тест KPSS перевіряє наявність одиничного кореня в залишках різницевого ряду.Вибір оптимальної структури моделі ARMAПобудова оптимальної ARMA моделі в програмі Gretl включає в себе вибір найкращої комбінації параметрів AR (авторегресія) та MA (ковзне середнє). Мета полягає в тому, щоб знайти модель, яка максимально точно описує тимчасовий ряд і мінімізує помилку прогнозування.способів вибору моделі є проведення аналізу автокореляції та часткової автокореляції. Автокореляція оцінює взаємозв'язок між поточним значенням ряду та його попередніми значеннями, а часткова автокореляція враховує вплив попередніх інтервалів часу, виключаючи вплив проміжних значень.На графіках автокореляції та часткової автокореляції, на яких визначені значущі точки, можна вибрати початкові значення для параметрів ARMA моделі. Наприклад, точка на графіку автокореляції, яка лежить всередині довірчих інтервалів, вказує на кількість параметрів MA, а точка на графіку часткової автокореляції вказує на кількість параметрів AR.Однак ARMA модель може мати кілька комбінацій параметрів, які найкращим чином відповідають часовому ряду. Тому важливо виконати оцінку якості кожної моделі за допомогою інформаційного критерію, такого як Акаіке або Шварца, щоб визначити оптимальну структуру моделі. Модель з нижчим значенням інформаційного критерію має кращу прогностичну здатність та більш точно описує дані.
Вибір оптимальної структури моделі ARMA в програмі Gretl здійснюється шляхом порівняння різних моделей з використанням інформаційного критерію. На основі результатів аналізу автокореляції та часткової автокореляції, а також інформаційного критерію, можна обрати найкращу модель для подальшого аналізу та прогнозування часового ряду.
Оцінка параметрів моделі ARMA
Для оцінки параметрів моделі ARMA в програмі Gretl застосовується метод найменших квадратів (МНК). Цей метод дозволяє знайти оптимальні значення параметрів моделі, мінімізуючи суму квадратів залишків. Щоб застосувати МНК, необхідно обрати оптимальні початкові значення параметрів моделі.
Процедура оцінки параметрів моделі ARMA включає наступнікроки:Вибір оптимального початкового значення лага та різностей для моделі ARMA;Оцінка параметрів моделі з використанням методу найменших квадратів;Перевірка значущості оцінених параметрів моделі та вибір оптимальної моделі ARMA за критерієм інформаційної функції Акаіке (AIC);Аналіз залишків моделі для перевірки наявності автокореляції та гетероскедастичності.Оцінка параметрів моделі ARMA є важливою частиною процесу побудови моделі часового ряду. Коректне визначення параметрів моделі ARMA дозволяє отримати достовірні та інтерпретовані результати аналізу.Інтерпретація результатівARMA коефіцієнти:AR коефіцієнт вказує на залежність поточного значення часового ряду від попередніх значень, представлених як авторегресійна (AR) складова моделі ARMA. Позитивний AR коефіцієнт означає позитивнузалежність, тобто збільшення попередніх значень пов'язане зі збільшенням поточного значення. Від'ємний коефіцієнт вказує на від'ємну залежність, тобто збільшення попередніх значень пов'язане зі зменшенням поточного значення.MA коефіцієнт описує залежність поточного значення часового ряду від випадкової помилки, представленої як ковзна середня (MA) складова моделі ARMA. Позитивний MA коефіцієнт показує збільшення поточного значення при зростанні випадкової помилки, в той час як від'ємний коефіцієнт вказує на зменшення поточного значення при збільшенні випадкової помилки.Статистичні тести:У програмі Gretl для ARMA моделей проводяться статистичні тести для перевірки значущості коефіцієнтів. Зазвичай використовується t-тест або z-тест для перевірки гіпотези про те, що коефіцієнт дорівнює нулю (немає впливу попередніх значень або випадкової помилки на поточне значення)тимчасового ряду). Якщо p-значення менше заданого рівня значущості (зазвичай 0.05), то коефіцієнт вважається значущим.Якість апроксимації:Нарешті, ми можемо оцінити якість апроксимації моделі ARMA шляхом аналізу значень критеріїв інформаційної складності, таких як AIC (критерій Акаіке) або BIC (байесівський інформаційний критерій). Чим менше значення критерію, тим краще відповідність моделі даним.Інтерпретація результатів моделі ARMA допомагає зрозуміти, які змінні та фактори впливають на часовий ряд, а також наскільки точно модель апроксимує дані. Це дозволяє приймати інформаційні рішення та прогнозувати майбутні значення.